Используя уравнение паритета (17.3). мы можем найти стоимость опциона "пут" по известному значению стоимости опциона "колл". Однако иногда легче оперировать непосредственно формулой для оценки стоимости опциона "пут". Формула Блэка-Шоулза для вычисления стоимости европейского опциона "нут" имеет вид³

P=Xe-'^T[\-NUl₁)]-S₀e-^ST[l-N(d_l)\.                             (17.4)

Эта формула согласуется с уравнением паритета опционов "пут" и "кои" и фактически ипжет быть выведена из нее. Если хотите, можете попробовать вывести эту форму i\\ но помните, что надо брить приведенные стоимости, используя непрерывно начисляемый сложный процент, и учтите, что когда акция обеспечивает непрерывный поток, дохода в форме постоянной дивидендной доходности  S.  приведенная стоимость  этого дивидендного потока равно

S₀(l —е~*^г)- (Заметим, что _е'"^Т приближенно равно 1—ST   так что дивиденды приолит-тельно равны 8TS₀J

Уравнение (17.4) верно для европейских опционов "нут". Котируемые опционы "пут" представляют собой опционы американского типа, которые можно исполнять до даты истечения. Поскольку американские опционы позволяют их владельцу исполнять опцион в любое время до даты истечения, то их стоимость должна быть, по крайней мере, не меньше, чем стоимость соответствующего европейского опциона. Но так как уравнение (17.4) описывает только нижнюю границу истинного значения американского опциона "пут", для многих применений эта аппроксимация достаточно точная.

Несмотря на то, что двухступенчатая модель оценки стоимости опционов кажется упрощенной, мы можем обобщить ее. чтобы включить в нее более реалистические до-пмиения. Для начала предположим, что мы разбили год на два шестимесячных сегмента и затем докажем, что в каждом полугодовом сегменте курс акций может принимать только два значения: или повыситься на 10° о, или понизиться на 5%. Для акций, первоначально продаваемых по цене $100. возможно следующие направления развития событий в течение года:

Среднее значение курса акций равно $104.50. его можно достичь двумя способами: увеличением курса акций на 10% с последующим снижением на 5% или. наоборот, снижением курса акций на 5% с последующим повышением на 10%.

Таким образом, мы имеем три возможных предельных (на конец периода) значения для цены акции и три для опциона:

Используя метод, аналогичный описанному выше, мы можем оценить СГ, зная С и С*~, а затем оценить С". исходя из значений С"* и С и, наконец, найти значение С из С" и С Можно не останавливаться на шестимесячном интервале, а разбить год на четыре трехмесячных периода, или 12 одномесячных периодов, или иа 365 интервалов продолжительностью один день. Решение для каждого из принятых интервалов сводится к двухступенчатой модели. Хотя вычисления становятся все более громоздкими и соответственно более нудными, эти трудности легко преодолеть, воспользовавшись компьютерной программой, и участники опционных рынков широко их применяют.

По мере разбиения года на все большее количество мелких интервалов диапазон возможных предельных значений курса акций расширяется и фактически, в конце концов, принимает знакомую нам колоколообразную форму нормального распределения. Это хорошо видно из анализа дерева событий для курса акций, в котором имеется три нодинтервала.

Во-первых, отметим, что по мере роста числа подингервалов, число возможных значений курса акций также растет. Во-вторых, обратите внимание, что вероятность крайних событий, таких как курсы акций, равные S' ' или S"", относительна низка, поскольку для их совершения необходимо три последовательных увеличения или уменьшения курса акций в трех подинтервалах. К более умеренному или среднему значению курса акций, такому как S~⁺~. можно прийти не одним способом; любая комбинация из двух увеличений и одного понижения курсов акций приведет к к>рсу акций S'~. Таким образом, наиболее вероятны средние значения. Вероятность каждого результата описывается биномиальным распределением, и поэтому этот многоступенчатый подход к оценке стоимости опционов называют биномиальной моделью (binomial model).

Способность создать полностью хеджированную позицию — это ключ к нашим рассуждениям. Хеджирование фиксирует размер выплат на конец года, которые можно дисконтировать, используя безрисковую процентную ставку. Чтобы найти стоимость опциона через стоимость базисного актива, необязательно знать коэффициент "бета" опциона или акции, или ожидаемую ставку доходности. Использование метода полного хеджирования или дублирования позволяет нам выразить стоимость опциона через текущую стоимость акции, даже не имея этой информации. При наличии хеджированной позиции окончательный курс акций не влияет на доход инвестора, так что параметры риска и доходности акций можно не принимать во внимание.

Коэффициент хеджирования в рассмотренном примере равен одной акции к двум опционам "коля", или одной второй. Чтобы хеджировать риск на каждый проданный опцион "колл", в портфеле инвестора должна находиться половина акции. Этот коэффициент имеет ирооую интерпретацию: это отношение разности значений стоимости опциона к разности двух возможных предельных цен подлежащей акции. Опцион или ничего не стоит (нуль) или стоит $75. разность равна $75. Акции стоят или $50, или $200. разность равна $150. Отношение разностей $75/$ 150 равно 1/2, это и есть установленный нами коэффициент хеджирования.

Коэффициент хеджирования равен отношению разностей, поскольку в этом двухступенчатом примере движение доходов or опциона и акции полностью скоррелировано. Если доходы по акции и по опциону полностью взаимосвязаны, то полностью хеджированная позиция требует, чтобы cooiношение находящихся в портфеле опциона и акции определялось только относительной изменчивостью их стоимостей.

Запишем формулу для расчета коэффициента хеджирования для двухступенчатой модели:

С-С

Н=---------- ,

S-S

где С и С относятся к стоимости опционов "колл" при росте и падении курса акций соответственно. 5* и 5"— цена акций в этих двух наложениях. И— коэффициент хеджирования, представляет собой отношение колебаний возможных предельных (на конец периода) значений стоимости опциона и акции. Если инвестор продает один опцион "колл" и покупает И акций, то курс акций не будет влиять на стоимость его портфеля. В этом случае логика установления цены опциона выглядит так: следует просто приравнять стоимость хеджированного портфеля приведенной стоимости известного дохода. Используя наш пример, покажем методику определения цены опционов.

1.      Для заданных возможных предельных значений курса акций S~ = S200 и 5*= $50 и цене исполнения $125 вычисляют С — $75 и С — S0. Разность курсов акций составляет $150. а разность стоимости опционов — $75.

2.  Определяют коэффициент хеджирования $75/$ 150 = 0.5.

3.  Находят, что стоимость портфеля, сформированного из 0,5 акции с одним проданным опционом, на конец периода несомненно будет равна $25.

4.  Показывают, что приведенная стоимость портфеля $25 при 8% годовой процентной ставке равна $23.15.

5.  Приравнивают стоимость хеджированной позиции приведенной стоимости фиксированного дохода:

0.5S₀-C₀ =S23,15 S50-C₀ = $23.15

6. Решают вышеприведенное уравнение и находят стоимость опциона С₀ = $26,85-

Что если стоимость опциона окажется завышенной, например, его продают за $30? Тогда вы можете получить арбитражную прибыль. Вот как это происходит.

Первоначальное     Движение денег через год для

движение денег     каждого из возможных курсов акций

S = $50                5 = $200

1. Продажа двух опционов              $ 60                        SO                       S -150

2.Покупка одной акции               -100                         50                         200

3.Получение займа в размере        40                       -43,20                   -43,20 $40 при процентной ставке

8% с выплатой через год

Итого                                                $0                        $6,80                     $6,80

Несмотря на то. что чистая первоначальная инвестиция равна нулю, доход в первый год положительный и безрисковый. Если же опцион недооценен, то можно просто изменить направление этой арбитражной стратегии: купить опцион и совершить "короткую" продажу акций, чтобы исключить ценовой риск. Между прочим, обратите внимание, что приведенная стоимость прибыли по приведенной выше арбитражной стратегии в два раза больше суммы, на которую завышена цена опциона. Приведенная стоимость безрисковой прибыли $6,80 при 8%-ной ставке равна S6.30. С двумя проданными опционами в описанной выше стратегии эго приводит к прибыли $3,15 в расчете на опцион, т.е. точно к той сумме, на которую завышена цена опциона: сравните $30 с "истинной стоимостью", равной $26,85.

Полное понимание формул, обычно используемых для оценки стоимости опционов, затруднительно без хорошей математической базы. Тем не менее мы поможем вам проникнуть вглубь вопроса на простом примере. Допустим, что курс акций может принимать при наступлении даты истечения одно из двух B03viOAHbix значений: курс будет либо расти, приводя к повышенной цене на акцию, либо падать, приводя соответственно к пониженной цене. Несмотря на то, что это чрезмерно упрошенная ситуация, она позволит нам лучше понять более сложные и реалистичные модели. Кроме того, мы можем распространить этот подход на описание более реального поведения курса акций. Действительно, несколько основных финансовых фирм используют варианты этой простой модели для оценки опционов и ценных бумаг с чертами опционов.

Предположим, что сейчас акции продаются но цене $ 100, и к концу года эта цена либо удвоится до $200. либо упадет наполовину -— до S50. Примем, что опцион "колл" на эти акции имеет цену исполнения S125 и время до даты истечения — один год. Процентная ставка равна 8%. К концу года доход хтя владельца опциона "колл" будет или равен нулю в стучае падения курса акций, или $75 в случае повышения цены до $200 за акцию.

Эти события можно показать с помощью следующих "деревьев".

$200                                                $75

С

$50                                             "— $0

Курс акций                                    Стоимость опциона "ко.иГ

Сравним этот доход с доходом от инвестиционного портфеля, состоящего из акций и займа в размере $46,30 при процентной ставке 8°о Доход от этого портфеля также зависит от курса акций на конец года.

Стоимость акции на конец года (долл.)                  50                              200

- Погашение займа с процентами                        - 50                             - 50

Итого (долл.)                                                                         0               150

Мы знаем, что денежные расходы на создание портфеля составляют 553,70: $100 за акцию минус заем, равный $46,30. Следовательно, возможные варианты стоимости портфеля выглядят так:

_____  S150

553,70 -сС^Г^

При любом курсе акций доход от этого портфеля ровно в два раза больше, чем от опциона "колл". Другими словами, два опциона "колл" будут четко дублировать (воспроизводить) доход портфеля, значит, цена двух опционов "колл" равна стоимости создания портфеля. Следовательно, два опциона "колл" должны продаваться по той же цене, что и активы "дублирующего портфеля":

2C = S53,70.

или каждый опцион "колл" следует продавать но цене С = 526.85. Таким образом, при любом заданном курсе акций, цене исполнения, процентной ставке, изменчивости цены акций (направление движения вверх или вниз) мы можем вывести обоснованную стоимость опциона "колл".

Этот подход к опенке стоимости опциона в большой степени опирается на понятие дублирование (replication). При наличии только двух возможных значений курса акций на конец года доходы о г портфеля, состоящего из акций, частично приобретенных в кредит, дублируют доходы от двух опционов "колл". и мы имеем так нам необходимую ту же рыночную цену. Это понятие дублирования стоит за большинством формул ценообразования опционов. Для более сложных распределений курсов акций метод дублирования соответственно более сложный, но принцип, лежащий в основе оценки опциона, тог же.

Чтобы вы лучше представили себе роль дублирования, заметим, что портфель, созданный из одной акции и двух проданных опционов "колл", является полностью хеджированным. Его стоимость в конце года не зависит от конечного курса акций.

Стоимость акций (долл.)                                                                50                200

- Обязательства по двум проданным опционам "колл" (долл.)    - 0               -150

Чистый доход (долл.)                                                                                        50        50

Инвестор сформировал безрисковый портфель с доходом $50. Его стоимость представляет собой приведенное значение $50, дисконтированных но безрисковой процентной ставке 8%, что составляет $50/1,08 = $46,30. Стоимость портфеля, вычисленная как $100 (купленные акции), минус 1С от проданных опционов, также должна равняться S46.30. Следовательно, цена опциона "колл" должна равняться: $100 - 2С = $46.30 или С = $26.85.

Мы можем идентифицировать, по крайней мере, шесть факторов, влияющих на стоимость опциона "колл": курс акций, цена исполнения опциона, изменчивость курса акций, срок до даты истечения, процентная ставка и дивидендная доходность акций. Стоимость опциона "колл" будет расти вместе с ростом курса акций и уменьшаться вместе с ростом цены исполнения, потому что доход от опциона "колл" при его исполнении равен Sf-X. Значение ожидаемого дохода от опциона увеличивается вместе с разностью Sa-X.

Стоимость опциона "колл" увеличивается вместе с ростом изменчивости курса базисной акции. Чтобы понять причину тгого явления, рассмотрим ситуацию, когда возможный курс акций на дату истечения может варьировать в диапазоне от S10 до $50, и сравним ее с ситуацией, когда к\рс акций колеблется в диапазоне от $20 до $40. В обоих случаях ожидаемый или средний курс акций будет равен $30. Предположим, что цена исполнения опциона "колл" также равна $30. Чему будет равен доход от опциона?

Изменчивость курса акций: высокая степень

Если каждый исход одинаково вероятен, и вероятность равна 0,2. то ожидаемый доход от опциона в условиях высокой изменчивости курса акций составит $6, а в условиях низкой изменчивости курса акций —только половину этой суммы — S3.

Несмотря на то, что средний курс акций по каждому из сценариев равен $30, средний доход от опциона выше в случае высокой изменчивости курса акций. Источник такой дополнительной стоимости заключается в ограничении убытков, которые может понести владелец опциона, или в изменчивости цены подлежащих акций опциона "колл". Независимо от того, насколько упадет курс акций от $30. владелец опциона получит нулевой доход. Очевидно, что чрезвычайно низкое падение курса акций для владельца опциона ничуть не хуже, чем умеренное падение.

Однако при значительном росте курса акций опцион "колл" будет исполнен с выигрышем, причем прибыль тем больше, чем выше курс акций. Таким образом, исход с чрезвычайно выгодным курсом акций может неограниченно повышать доход от опциона, но даже очень невыгодный курс не понизит значение дохода ниже нуля. Эта асимметрия означает, что изменчивость цены подлежащей акции увеличивает ожидаемый доход по опциону, повышая тем самым его стоимость.

Аналогично, чем продолжительнее период до даты истечения, тем выше стоимость опциона "колл". При более отдаленных сроках истечения значительно больше времени для того, чтобы непредсказуемые будущие события оказали влияние на цены, и соответственно, увеличение диапазона колебания курсов акций.

Этот эффект аналогичен наблюдаемом) эффекту для опциона "колл*" при увеличении изменчивости. Более того, но мере продления срока до даты истечения приведенная стоимость цены исполнения уменьшается, таким образом шрая на пользу владельца опциона "колл" и увеличивая стоимость опциона. В дополнение заметим, что стоимость опциона "колл" повышается с ростом процентных ставок (при неизменном курсе акций), поскольку более высокие процентные ставки также снижают приведенную стоимость цены исполнения.

II наконец, на стоимость опционов влияет проводимая фирмой дивидендная политика. Политика выплаты высоких дивидендов замедляет темпы роста курса акций. Для любой ожидаемой обшей ставки доходности акций высокая дивидендная доходность должна подразумевать пониженную ожидаемую ставку доходности от прироста капитала. Это препятствие к росту курса акций уменьшает потенциальный доход от опциона"колл", снижая тем самым стоимость опциона. В табл. 17.1 подытожены все рассмотренные взаимосвязи.

Доход, который может получить владелец опциона "колл" с выигрышем при условии его немедленного исполнения, равный цене акции минус цена исполнения опциона.

Рассмотрим ситуацию, характеризующуюся тем. что опцион "колл" - это опцион без выигрыша, а цена подлежащей (базисной) акции установилась ниже цены испочнення. Эго не означает, что опцион не имеет стоимости. Даже если сегодня при немедленном исполнении опцион не принесет доход, стоимость опциона "колл" будет положительной, потому что всегда существует шанс, что курс акций возрастет в такой степени, что к дате истечения опциона его исполнение станет выгодным. В противном случае, худшее, что может случиться, — это то. что стоимость опциона будет равна нулю.

Величину 5₀ - X иногда называют внутренней стоимостью (intrinsic value) опциона

"колл" с выифышем, потому чго она обеспечивает доход, который можно получить при немедленном исполнении опциона. Внугренняя стоимость опциона равна нулю, если это опцион без выигрыша или с проигрышем. Разницу между фактической ценой опциона "колл" и его вн\тренней стоимостью обычно называют временной стоимостью (time value), или срочной премией опциона.

Термин временная стоимость выбран довольно неудачно, поскольку можно спутать временную стоимость опциона (option's time value) с временной стоимостью денег (time \alue of money). Временная стоимость в контексте опционов просто означает разницу между ценой опциона и стоимостью, которую имел бы опцион при его немедленном истечении. Она представляет собой часть стоимости опциона, обусловленную имеющимся временем (а следовательно, и потенциалом роста курса акций) до даты истечения.

Большая часть срочной премии опциона является тем. что можно назвать "стоимостью изменчивости". Пока владелец опциона не решит его исполнить, доход (выигрыш) от опциона не может быть равен нулю. Даже если в настоящее время опцион "колл" с проигрышем, его все еще можно будет продать за положительную цену, поскольку он содержит в себе потенциал для получения дохода при увеличении стоимости актива без риска дополнительных убытков при падении курса акций. Стоимость изменчивости (волатилыюсти) выражается в праве не исполнять опцион, если это невыгодно для его владельца. Право исполнить или не исполнить опцион в отличие от обязанности его исполнения служит страховкой против исполнения опциона при низком курсе акций.

При значительном росте курса акций вероятность исполнения опциона "колл" в дату истечения увеличивается. В этом случае стоимость изменчивости (волатильности) становится минимальной. Когда курс акций очень высокий, стоимость опциона приближается к "скорректированной" внутренней стоимости: цена актива минус приведенная стоимость цены исполнения. S(,-Р\'(Х).

Почему так? Как известно, опцион будет исполнен и акции куплены за .V долларов, это равнозначно тому, что вы были бы владельцем этих акций. Свидетельство на акцию могло бы уже сейчас лежать в вашем сейфе в банке, как это и произойдет, только через несколько месяцев. Акции еще не оплачены. Приведенная стоимость вашего обязательства представляет собой приведенное значение X, так что приведенная стоимость чистого дохода от опциона "колл" равна S₀ — РУ(Х)^Х.

При очень высоком курсе акций стоимость опциона приближается к скорректированной внутренней стоимости. В середине диапазона (курса акций), где опцион является опционом без проигрыша, кривая стоимости опциона отклоняется от прямой линии, соответствующей скорректированной внутренней стоимости. Это обусловлено тем, что если в настоящее время доход от исполнения опциона мая (или принимает отрицательное значение), стоимость изменчивости в этой области достаточно высока. Стоимость опциона всегда растет с ростом курса акций. Однако наклон кривой тем больше, чем больше опцион в выигрыше. В этом случае исполнение гарантировано реализуется и стоимость опциона растет BMecie с курсом акций в соотношении один к одному.