Несмотря на то, что двухступенчатая модель оценки стоимости опционов кажется упрощенной, мы можем обобщить ее. чтобы включить в нее более реалистические до-пмиения. Для начала предположим, что мы разбили год на два шестимесячных сегмента и затем докажем, что в каждом полугодовом сегменте курс акций может принимать только два значения: или повыситься на 10° о, или понизиться на 5%. Для акций, первоначально продаваемых по цене $100. возможно следующие направления развития событий в течение года:

Среднее значение курса акций равно $104.50. его можно достичь двумя способами: увеличением курса акций на 10% с последующим снижением на 5% или. наоборот, снижением курса акций на 5% с последующим повышением на 10%.

Таким образом, мы имеем три возможных предельных (на конец периода) значения для цены акции и три для опциона:

Используя метод, аналогичный описанному выше, мы можем оценить СГ, зная С и С*~, а затем оценить С". исходя из значений С"* и С и, наконец, найти значение С из С" и С Можно не останавливаться на шестимесячном интервале, а разбить год на четыре трехмесячных периода, или 12 одномесячных периодов, или иа 365 интервалов продолжительностью один день. Решение для каждого из принятых интервалов сводится к двухступенчатой модели. Хотя вычисления становятся все более громоздкими и соответственно более нудными, эти трудности легко преодолеть, воспользовавшись компьютерной программой, и участники опционных рынков широко их применяют.

По мере разбиения года на все большее количество мелких интервалов диапазон возможных предельных значений курса акций расширяется и фактически, в конце концов, принимает знакомую нам колоколообразную форму нормального распределения. Это хорошо видно из анализа дерева событий для курса акций, в котором имеется три нодинтервала.

Во-первых, отметим, что по мере роста числа подингервалов, число возможных значений курса акций также растет. Во-вторых, обратите внимание, что вероятность крайних событий, таких как курсы акций, равные S' ' или S"", относительна низка, поскольку для их совершения необходимо три последовательных увеличения или уменьшения курса акций в трех подинтервалах. К более умеренному или среднему значению курса акций, такому как S~⁺~. можно прийти не одним способом; любая комбинация из двух увеличений и одного понижения курсов акций приведет к к>рсу акций S'~. Таким образом, наиболее вероятны средние значения. Вероятность каждого результата описывается биномиальным распределением, и поэтому этот многоступенчатый подход к оценке стоимости опционов называют биномиальной моделью (binomial model).